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\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$}
\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
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\setcounter{nexo}{0} % initialisation du numero
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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\textsc{exercice  \arabic{nexo}}}}}}}
  }%

\newcommand{\QCM}[3]{ $\bullet$ \quad #1 \hfill 
$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%



\begin{document}
\input tabvar
\begin{center}
1STI. Devoir en classe \no 6. Mai 2010
\end{center}

\exo  Dériver les fonctions suivantes:

 \medskip 
 
\begin{center}
 $u(t)=2 cos(3t)$ \hspace{1cm} $x(t)=2t^2+3t-1$\hspace{1cm}  $f(R)=\dfrac{R^2}{2R+1}$
\end{center}
 
\exo 

 \medskip 


Une machine produit des pièces, dont certaines sont défectueuses à cause de deux défauts possibles, le défaut A et le défaut B, à l'exclusion de tout autre défaut.
 
On a constaté que, parmi les pièces produites par la machine, 30\% ont le défaut A, 27\% ont le défaut B, et 10\% ont les deux défauts.

On choisit au hasard une des pièces produites par la machine. On note :

\begin{itemize}
	\item A l'évènement : \og La pièce a le défaut A \fg ;
	\item B l'évènement : \og La pièce a le défaut B \fg.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Dresser un tableau résumant ces informations qui vous permettra de répondre aux questions suivantes.
	\item Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce non défectueuse ?
	\item Traduire par une phrase l'évènement  $A \cap \overline B $. Calculer la probabilité de l'évènement  $A \cap \overline B $ ?
	\item Traduire par une phrase l'évènement  $A \cup B $. Calculer la probabilité de l'évènement  $A \cup B $ ?
	\item Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce qui a seulement le défaut B ?
	\item Quelle est la probabilité de tomber sur une pièce défectueuse qui n'a qu'un seul défaut ?
\end{enumerate}
	

 \bigskip 


\exo  Construction

 \medskip 


Soit $f$ la fonction définie par son tableau de variation:

$$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{-5}&&\tx{0}&&\tx{5}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f(x)}&\txb{-\infty}&\fm&\txh{2}&\fd&\txb{-4}&\fm&\txh{1}\cr
}$$
\begin{enumerate}
\item Construire une courbe possible par cette fonction $f$; on tracera les asymptotes en pointillés et on indiquera leurs \'equations.
\item A l'aide de la courbe tracée à la question précédente ou du tableau de variation, répondre aux questions:
\begin{enumerate}
\item Donner le nombre de solutions à l'équation $f(x)=0$;
\item Donner l'ensemble des solutions de $f'(x)\geqslant 0$;
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 \bigskip 

\exo  Construction

 \medskip 
 
 A l'aide de votre calculatrice, tracer et recopier sur votre copie le graphe de la fonction $f$ définie par $$f(x)=\frac{-2x+1}{x-1}$$
 Ensuite, par simple lecture graphique de cette  courbe, donner:
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$ et  $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$.
\item $\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)$ et  $\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)$.
\item les équations des asymptotes.
\item le tableau de variation de $f$. 
\end{enumerate}
 \bigskip 



 \exo 

 \medskip 


Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left] 0 ; + \infty \right[$  par $f(x) = ax + b +\dfrac{c}{x}$  où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels. Sa  courbe représentative notée $C_f$ est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal. On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$.\\
La courbe $C_f$  passe par les points $A(1;0)$  et $B(2;1)$. La tangente à la courbe $C_f$  au point $B$ est parallèle à l'axe des abscisses.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.51,-3.51)(13.5,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](0,0)(-0.5,-3.5)(13.5,2)
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-0.25,-3.5)(6.75,2)
\rput(-0.15,-0.3){\footnotesize{0}}
\uput[d](6.6,-0.2){\footnotesize{$x$}} \uput[l](-.05,1.75){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0.5}{6.75}{5-x-4/x}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](1.25,1)(2.75,1)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8] (1,0)(2,1)
\uput[l](1,0.2){\footnotesize{\bleu {$A$}}} \uput[l](2.1,1.2){\footnotesize{\bleu {$B$}}}\uput[l](6.8,-1.8){\textbf{\bleu{ $C_f$}}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Déterminer $f(1)$, $f(2)$ et $f'(2)$.
	\item Exprimer $f'(x)$ à l'aide de $a$, $b$ et $c$.
	\item Montrer, en utilisant les résultats de la question 1), que les réels $a$, $b$ et $c$ vérifient le système (S):
$$
\left\lbrace
\begin{array}{c}
a+b+c=0\\
4a+2b+c=2\\
4a-c=0
\end{array}
\right.
$$	
	\item Résoudre le système (S), et en déduire l'expression de $f(x)$.
	\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe au point $A$. Tracer cette droite sur le graphique précédent.
	\item Par simple lecture graphique de la courbe $C_f$, dresser le tableau de variation de $f$, en précisiant le signe de $f'(x)$ et le signe de $f(x)$, en déduire:
	\item Des trois courbes représentées ci-dessous, quelle est celle qui  est la représentation graphique d'une fonction $F$ définie sur l'intervalle $\left] 0 ; + \infty \right[$ et ayant pour dérivée la fonction $f$ ?

\medskip
	
	\begin{tabular*}{\linewidth}{@{}c *{2}{c}}
	\psset{unit=0.8cm}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-0.51,-1.2)(6.5,1.5)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{violet}{0.5 0 .4 }
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](0,0)(-0.5,-1)(6.5,1.5)
	\psset{xunit=0.8cm, yunit=0.4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 0pt]{->}(0,0)(-0.5,-2)(6.5,3)
\rput(-0.2,-0.5){\scriptsize 0}

\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=violet]{0.1}{6.5}{5*x-x^2/2-4*ln(x)-6}
\end{pspicture*}
&
\begin{pspicture*}(-0.51,-1.2)(6.5,1.5)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{violet}{0.5 0 .4 }
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](0,0)(-0.5,-1)(6.5,1.5)
	\psset{xunit=0.8cm, yunit=0.4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 0pt]{->}(0,0)(-0.5,-2)(6.5,3)
\rput(-0.2,-0.5){\scriptsize 0}

\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=violet]{0.4}{6.5}{(x-1)*(x-4)/x^1.5}
\end{pspicture*}
&
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-0.51,-1.2)(5.01,1.5)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{violet}{0.5 0 .4 }
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=gray,gridlabels=0](0,0)(-0.5,-1)(5,1.5)
	\psset{xunit=0.8cm, yunit=0.4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 0pt]{->}(0,0)(-0.5,-2)(5,3)
\rput(-0.2,-0.5){\scriptsize 0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=violet]{0.2}{4.4}{(x-1)*(4-x)*ln(x)}
\end{pspicture*}\\
\textsf{\small{Courbe 1}} & \textsf{\small{Courbe 2}}  & \textsf{\small{Courbe 3}}  \\
		\end{tabular*}
	\end{enumerate}	
	

 \bigskip 



\end{document}
