\documentclass[a4paper,12pt]{article}
%fontes
\usepackage[latin1]{inputenc} 
% Fourier for math | Utopia (scaled) for rm | Helvetica for ss | Latin Modern for tt
\usepackage{fourier}

\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

\usepackage{wasysym}
%format de  page
\usepackage{geometry}
\geometry{ hmargin=2cm, vmargin=2cm }

%permet l'utilisation de hauts et bas de page.
\usepackage{fancyhdr}

%utilisation du symbole euro 
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}

%importation de fichiers eps
\usepackage{graphicx}

%fabrication de dessin, de courbes, d'arbres, de figures gÃ©omÃ©triques
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add,pst-eucl}

%pour travailler avec Kdvi
%\usepackage[active]{srcltx}

%pour travailler au format typographique franÃ§ais
\usepackage[french]{babel}%


%Raccourci maths
\newcommand{\e}{\text{e}}
%Ensembles R, C, N et D
%usage: $\R$
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}

% Pour avoir un vecteur
% usage \V{AB}
\newcommand{\V}{\overrightarrow}
% usage \vect{AB}
\newcommand{\vect}{\overrightarrow}

% RepÃ¨re (O,i,j)
%usage : $\RE$ 
\newcommand{\RE}{(O;\V{i},\V{j})}
%usage \Oij
\newcommand{\Oij}{$(O;\V{i},\V{j})$}
% RepÃ¨re (O;u,v)
\newcommand{\RC}{(O;\V{u},\V{v})}
\newcommand{\Ouv}{$(O;\V{u},\V{v})$}
% un autre repÃ¨re (O;i,j)
\newcommand{\REP}{\mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$}}
% un autre repÃ¨re (O;u,v)
\newcommand{\REPB}{\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}}

% RepÃ¨re (O,i,j,k)
%usage : $\RES$ 
\newcommand{\RES}{(O;\V{i},\V{j},\V{k})}
%usage \Oijk
\newcommand{\Oijk}{$(O;\V{i},\V{j},\V{k})$}

% DÃ©finit un environnement exercice avec un compteur
% usage :
% \begin{exercice}
%\end{exercice}
\newcounter{num}
\renewcommand{\thenum}{\Roman{num}}
\newcommand{\exo}{\addtocounter{num}{1}{\noindent \textbf{Exercice~\thenum~:}}}
\newenvironment{exercice}{\exo}{\vskip 0.5cm}

%macros Ã  insÃ©rer dans une ficgure
\newcommand{\repereOij}{
	\psset{ticksize=.7pt,linewidth=.7\pslinewidth,labelsep=2.5pt}
	\pstGeonode[PosAngle=-135]{O}
	\pcline{->}(0,0)(1,0)\rput(0.5,-0.4){$\vect{i}$}
	\pcline{->}(0,0)(0,1)\rput(-0.5,0.5){$\vect{j}$}}

\newcommand{\repereOuv}{
	\psset{ticksize=.7pt,linewidth=.7\pslinewidth,labelsep=2.5pt}
	\pstGeonode[PosAngle=-135]{O}
	\pcline{->}(0,0)(1,0)\rput(0.5,-0.4){$\vect{u}$}
	\pcline{->}(0,0)(0,1)\rput(-0.5,0.5){$\vect{v}$}}

%\usepackage{tex4ht}

%Dessin d'un arbre de Bernoulli
\makeatletter
\newcount\@Bernoudepth
\newcount\@Bernoumaxdepth

\newcommand\Bernoutree[8][treemode=R,nodesep=1ex,levelsep=12ex]{%
  % #2 = profondeur de l'arbre
  % #3 = nom de l'Ã©vÃ¨nement rÃ©ussite
  % #4 = nom de l'Ã©vÃ¨nement Ã©chec
  % #5 = proba de l'Ã©vÃ¨nement rÃ©ussite
  % #6 = placement de #5
  % #7 = proba de l'Ã©vÃ¨nement Ã©chec
  % #8 = placement de #7
  \begingroup
  % initialise paramÃ¨tres
  \psset{treemode=R,nodesep=1ex,levelsep=12ex}%
  \psset{#1}%
  \@Bernoumaxdepth #2\relax
  \def\@Reussite{#3}%
  \def\@Echec{#4}%
  \def\@probareussite{#5}%
  \def\@Argreussite{#6}%
  % Si pas de spÃ©cification de placement,
  % on place au centre
  \ifx\empty\@Argreussite
    \def\@Argreussite{0.5}%
  \fi
  \def\@probaechec{#7}%
  \def\@Argechec{#8}
  \ifx\empty\@Argechec
    \def\@Argechec{0.5}%
  \fi
  % Premier appel (racine vide, niveau 1)
  \pstree{\TR{}}{\@Bernoutree{1}}
  \endgroup
}
\newcommand\@Bernoutree[1]{%
  % #1 = profondeur rÃ©cursive
  % initialise profondeur en cours
  \@Bernoudepth #1\relax
  \ifnum\@Bernoudepth=\@Bernoumaxdepth
    % si la profondeur max est atteinte
    % on place les deux noeuds terminaux
    \TR{\@Reussite}\taput[tpos=\@Argreussite]{\@probareussite}
    \TR{\@Echec}\tbput[tpos=\@Argechec]{\@probaechec}
    % et c'est tout
  \else
    % sinon on construit rÃ©cursivement
    % les deux sous-arbres de niveau supÃ©rieur
    \advance\@Bernoudepth \@ne
    \pstree{\TR{\@Reussite}\taput[tpos=\@Argreussite]
           {\@probareussite}}{\@Bernoutree{\the\@Bernoudepth}}
    \pstree{\TR{\@Echec}\tbput[tpos=\@Argechec]
           {\@probaechec}}{\@Bernoutree{\the\@Bernoudepth}}
  \fi
}
\begin{document}
%\input tabvar
\begin{center}
 TS1. Devoir en classe n°1. Septembre 2009
\end{center}
\begin{center}
1ère partie. Calculatrice interdite
\end{center}

\begin{exercice} En points négatifs !! Compléter les formules de dérivation:\vspace{2cm}\\
$(u+v)'=\cdots$ \hspace{3cm}$(ku)'=\cdots$ \hspace{3cm}$(uv)'=\cdots$ \hspace{3cm}$\left(\frac{1}{u}\right)'=\cdots$ \vspace{2cm}\\
$\left(\frac{u}{v}\right)'=\cdots$ \hspace{3cm}$(\cos u)'=\cdots$ \hspace{3cm}$(\sin u)'=\cdots$ \hspace{3cm}$\left(u^n\right)'=\cdots$ \vspace{2cm}\\
$\left(\sqrt u \right)'=\cdots$ \hspace{3cm}$\left(\ln u\right)'=\cdots$ \hspace{3cm}$\left(e^u\right)'=\cdots$\vspace{2cm}\\
Application: Dériver les fonctions $f$ suivantes:\\
$f(x)=e^{-4x}$  \hspace{3cm}$f(x)=xe^{2x}$ \hspace{3cm}$f(x)=(1+cos[2x))^3$
\end{exercice}
\begin{exercice} ROC
\begin{enumerate}
\item Soit une fonction $f$ dérivable sur R telle que $f'=f$ et $f(0)=2$ et $g$ telle que $$g(x)=f(x)\times f(-x)$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$.
\item Montrer que $g$ est constante et déterminer cette constante.
\item $f$ est-elle la fonction exponentielle? Justifier vore réponse.
\end{enumerate}
\item Rappeller la définition d'une fonction dérivable en 0. Appliquer cette définition à la fonction exponentielle et en déduire $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^3+3x+1$
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $\pm \infty$.
\item Donner le tableau de variation de $f$.
\item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$.
\end{enumerate}
\end{exercice}
\newpage
\begin{center}
2ème  partie. Calculatrice recommandée
\end{center}

\begin{exercice}
On admet que l'équation $x^3-x^2+x+2=0$ admet une unique solution $\alpha$. Donner un encadrement de $\alpha$ à 0,001 près.
\end{exercice}

\begin{exercice} QCM: Indiquer la ou les bonnes réponses à chaque question. Justifier quand cela vous est demandé.\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R-\{-1;1\}$ par $f(x)=\frac{2x^2-3}{x^2-1}$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère \Oij.
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=$\\
a) $+\infty$\\
b) 0 \\
c) 2

Justifier ce résultat.
\item $\displaystyle \lim_{x\to -1^+}f(x)=$\\
a) $+\infty$ \\
b) $-\infty$

Justifier ce résultat.
\item La courbe $\mathcal{C}$ admet exactement\\
a) 1 asymptote \\
b) 2 asymptotes \\
c) 3 asymptotes
\item La fonction $f$ est:\\
a) paire \\
b) impaire \\
c) ni paire ni impaire.
\item L'équation $f(x)=2$:\\
a) n'admet pas de solution \\
b) admet exactement 1 solution \\
c) admet exactement 2 solutions.
\item Soit $m$ un réel vérifiant $m>3$, alors l'équation $f(x)=m$:\\
a) n'admet pas de solution \\
b) admet exactement 1 solution \\
c) admet exactement 2 solutions.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par:
$$
f(x)=
\left\lbrace
\begin{array}{c}
(x+1)^2 \text{ si } x<0 \\
cos(x) \text{ si } x\geqslant 0 
\end{array}
\right.
$$
\begin{enumerate}
\item Tracer sans justification le graphe de $f$ (attention mettre sa machine en mode radian).
\item En utilisant des arguments graphiques, préciser en le justifiant si les propositions suivantes sont vraies ou fausses.
\begin{enumerate}
\item $f$ est continue en 0. 
\item $f$ est dérivable en 0. 
\item L'équation $f(x)=0$ admet sur $]-\infty; \pi ]$ une unique solution. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}QCM: Indiquer la ou les bonnes réponses à chaque question. Aucune justification n'est demandée.\\
\noindent Soit $f$ une fonction d\'efinie et d\'erivable sur l'intervalle $\left]-5~;~ +\infty\right[$ dont le tableau de variations est donn\'e ci-dessous :

\begin{center}
\begin{pspicture}(12,3.5)
%\psgrid
\psframe(12,3.5)
\psline(0,2.5)(12,2.5) \psline(2,0)(2,3.5)
\uput[u](1,2.7){$x$} \uput[u](2.2,2.7){$-2$} \uput[u](4.5,2.7){$-1$} 
\uput[u](7,2.7){$0$} \uput[u](9.5,2.7){$2$} \uput[u](11.5,2.7){$+\infty$} 
\rput(2.4,0.2){$-\infty$} \rput(4.5,2.2){$-3$} \rput(7,0.2){$-5$} \rput(9.5,2.3){$4$}
\rput(11.5,0.2){$-4,5$} \rput(1,1.25){$f(x)$}
\psline{->}(2.8,0.3)(4.2,2) \psline{->}(4.8,2)(6.7,0.3) \psline{->}(7.3,0.3)(9.2,2) \psline{->}(9.8,2)(11.5,0.4) \psline(2.2,2.5)(2.2,0.3) \psline(2.275,2.5)(2.275,0.3) 
\end{pspicture}
 \end{center}
On d\'esigne par $\mathcal{C}$ la courbe repr\'esentative de $f$.
\begin{enumerate}
\item  Sur l'intervalle $]-5~;~ +\infty[$, l'\'equation $f(x)= - 2$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] admet une seule solution
\item[$\bullet~$]  admet deux solutions
\item[$\bullet~$]  admet quatre solutions.
\end{itemize}
\item  Sur l'intervalle $]-5~;~ +\infty[$, la courbe $\mathcal{C}$ :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] admet une seule asymptote la droite d'\'equation $x =  - 5$
\item[$\bullet~$] admet exactement deux asymptotes, les droites d'\'equations $x = - 4,5$ et \\$y = - 5$
\item[$\bullet~$] admet exactement deux asymptotes, les droites d'\'equations $y = - 4,5$ et \\$x = - 5$.
\end{itemize}
\item  On sait que $f'(2) = 0$. L'\'equation de la tangente \`a $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 2 est :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $y = 4$
\item[$\bullet~$] $y =  4(x - 2)$
\item[$\bullet~$] $x = 4$.
\end{itemize}
\item  On sait que l'\'equation de la tangente \`a $\mathcal{C}$ au point de coordonn\'ees (1 ; 2) est $y = 3x - 1$. On a :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $f(2) = 1$
\item[$\bullet~$] $f'(1) = - 1$
\item[$\bullet~$] $f'(1) = 3$.
\end{itemize}

\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice} Bonus: Prise d'initiative:\\
Déterminer deux fonctions $f$ et $g$ telles que:
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=+\infty$.
\item $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=3$.
\item $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}g(x)=0$ et $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=+\infty$.
\item $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$ et $\frac{f(x)}{g(x)}$ n'a pas de limite en $+\infty$..
\end{enumerate}
\end{exercice}



\end{document}
